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关键词： 大学数学   混合式教学设计   问题导向  

摘要： 本文通过“函数的微分”这一节的教学设计,给出如何围绕“知识—能力—素质”三位一体的教学目标,进行以问题为导向的大学数学混合式教学设计的过程和教学反思.

关键词： 三维系统   等时中心   中心流形   等时常数  

摘要： 本文给出了研究一类三维多项式微分系统中心流形上等时中心的直接方法.首先,定义了三维系统的等时常数,并给出了求等时常数的递推公式,由此,不经中心流形而直接计算等时常数确定等时性的必要条件.在应用部分,解决了两类具体系统的等时中心问题.该方法是平面微分系统刘一戎奇点量计算形式级数方法的推广与发展.其算法是线性的,十分便于计算机代数系统来实现.

关键词： 分数阶微积分   注意力机制   残差密集网络   神经网络  

摘要： 超分辨率技术是在低分辨率图像中估计高分辨率图像的一种应用。尽管深度神经网络在这方面已经取得显著进展,但仍存在一些问题,如对微小结构变化的敏感性。对此,通过引入残差密集网络提升GAN网络的灵活性;此外,针对分数阶微积分在神经网络领域的应用,提出FoMCA分数阶多通道注意力机制模块,通过设计新的阶数调节函数提高模型性能和效率,为构建和训练非常深层的可训练网络提供新思路;最后,通过对比实验和消融实验验证上述方法的有效性。

关键词： 分数阶微分   高光谱   土壤重金属锌和镍   随机森林   袋装法  

摘要： 传统的土壤重金属反演模型通常在预处理中使用整数阶微分方法(如1阶或2阶),其忽略了与目标变量相关的分数阶光谱反射率。分数阶微分(FOD)能通过灵活选定微分阶次,有效增强光谱信号。以云南省普洱市墨江哈尼族自治县的农田土壤为研究对象,测量了61个土壤高光谱反射率和土壤重金属含量数据(锌和镍),对高光谱反射率信息进行了0~2阶(间隔为0.05)分数阶微分预处理,将分数阶微分预处理后的各阶次的光谱反射率输入到连续投影算法(SPA)中进行特征波段筛选;分别建立了偏最小二乘回归(PLSR)、随机森林(RF)和袋装法(Bagging)三种土壤重金属反演模型。结果表明:在经过0到2阶(以0.05为间隔,共41个阶次)的分数阶微分处理,整体光谱强度呈逐渐减弱的趋势,伴随着分数阶阶次的增加逐渐趋向于零。光谱吸收带逐渐收窄,不同光谱曲线之间的差异逐渐减小,随着微分阶次的提高,产生了更为丰富的波峰和波谷。基于分数阶微分的最好阶次模型均优于原始光谱模型和整数阶模型,模型较好阶次大部分集中在低阶分数阶。对于重金属锌,预测模型精度最好的是0.75阶次的RF模型(R^(2)=0.675,RMSE=6.149,RPD=1.755),0.75阶次的Bagging模型次之(R^(2)=0.633,RMSE=6.534,RPD=1.652),0.25阶次的PLSR模型最低(R^(2)=0.551,RMSE=7.230,RPD=1.493)。对于重金属镍,预测模型精度最好的是0.80阶次的RF模型(R^(2)=0.854,RMSE=127.823,RPD=2.618),0.80阶次的Bagging模型次之(R^(2)=0.841,RMSE=133.304,RPD=2.510),0.40阶次的PLSR模型最低(R^(2)=0.762,RMSE=163.162,RPD=2.051)。本研究基于FOD预处理和SPA降维后构建的非线性模型(RF和Bagging)在农田土壤重金属含量估测具有一定的适用性,可以为类似区域的土壤重金属含量反演提供参考依据。

关键词： 恒成立   解法探究   扎根教材  

摘要： 不等式恒成立求参数取值范围问题是导数应用的典型问题.文章对2023年浙江省稽阳高三联考卷的导数压轴题进行多角度研究,巧用放缩、隐零点代换、以直代曲、函数单调性构造等方法,从多解到优解,从通法到妙法,并从立足高考、扎根教材两大维度寻根溯源,为高三导数复习提供一些参考.

关键词： 分数阶微分方程   Caputo-Katugampola型导数   耦合系统   不动点定理   Ulam-Hyers稳定性  

摘要： 利用Leray-Schauder二择一定理和Schauder不动点定理,研究了一类具有Caputo-Katugampola型导数的分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在唯一性,再利用Banach不动点定理和Ulam-Hyers稳定性的定义,讨论了该边值问题的Ulam-Hyers稳定性.

关键词： 变分方法   山路引理   迭代技术  

摘要： 基于变分方法,研究了一类具p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性:首先,建立了该微分方程的函数空间和变分框架;其次,利用山路引理和迭代技术,证明了该微分方程至少存在一个非平凡解;最后,通过一个例子来证明主要结论的适用性。

关键词： 旋转体   微元法   微分  

摘要： 本文以微分“以直代曲”的几何意义为基础,利用切线段代替曲线段的思想,给出了微元法求旋转体体积与侧面积的微分元素同一取法,阐明了两者微分元素本质上均应是圆台所对应的微分元素。本文利用定积分的基本计算公式验证了取圆台微分元素的正确性,利用初等几何知识的结论说明了微元法求旋转体侧面积不能取圆柱面为微分元素的错误原因。

关键词： 核心知识   高中数学   联考   解法探析   导数及其应用   高考数学命题   导数试题   优质校  

摘要： 导数及其应用是高中数学的核心知识,是历年高考数学命题的“风向标”.福建省名校联盟优质校2024年2月高三大联考数学第19题是在“新结构”模式下命制的是一道“漂亮”的导数试题.本文对该试题的解法进行探析.

关键词： 微分方程   非线性   二体问题   Kepler三大定律  

摘要： 微积分的一个重要应用就是微分方程,在工科院校的高等数学的课程当中,对于二阶常微分方程会花非常大的力气在二阶常系数线性常微分方程的求解中,对于其余的二阶常微分方程尤其是非线性的常微分方程很少涉及。本文通过对Kepler三大行星运动定律的数学推导,来说明非线性常微分方程才是实际当中碰到的大多数,以及微积分作为人类历史上的一项伟大发现的重要意义。An important application of calculus is differential equations. In the advanced mathematics courses of engineering colleges, a lot of effort is spent on solving second-order linear differential equations with constant coefficients, while other second-order differential equations, especially nonlinear differential equations, are rarely involved. This paper uses the mathematical derivation of Kepler’s three laws of planetary motion to illustrate that nonlinear differential equations are the majority of ordinary differential equations encountered in practice, and the importance of calculus as a great discovery in human history.